DESARROLLO DEL CONCEPTO DE UNA FUNCIÓN A LO LARGO DE LA HISTORIA Y APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN DIFERENTES AREAS DEL CONOCIMIENTO.

DESARROLLO DEL CONCEPTO DE UNA FUNCIÓN A LO LARGO DE LA HISTORIA
 
El concepto de diferencial se remonta, como es sabido, a la época en que nació el calculo infinitesimal; para las funciones reales de una variable real el uso de la notación dy/dx fue de gran utilidad pero enmascaro la esencia del concepto. de diferencial.
La primera definición correcta de la diferencial para funciones de varias variables es la de Stolz dada en su libro: "Grundziige der Differential una Integral Rechnung" aparecido en 1893  la funci6n f es diferenciable en el punto (a, b) si existen; en dicho punto, las dos derivadas primeras.
Stolz prueba que con su definición se pueden obtener los resultados del calculo diferencial de varias variables que se obtengan con la hipótesis de existencia de derivadas parciales en un entorno y continuidad de las mismas en el punto, probo además que esta ultima hipótesis implicaba la diferenciabilidad, pero dio un contraejemplo para probar que la reciproca no era cierta.
 Hadamard dio, en 1923, una nueva definición de la diferencial basada en el teorema de diferenciación de funciones compuestas. La memoria se ti tula: "La notion de differentielle dans l'enseignement" 10 que muestra que el autor pensaba que el interés era solo didáctico pero posteriores desarrollos probaron que esta definición era también interesante en otros aspectos. Severi dio también una nueva definición de la diferencial que no tuvo mayor repercusión.
El precursor de la teoría fue Volterra, que ya en 1887 introdujo el concepto de función lineal, siguieron los trabajos de varios matemáticos entre los cuales el mas importante, antes de la primera guerra mundial, fue el de Gateaux; posteriormente Paul Levy obtuvo resultados de interés, pero puede considerarse como el creador de la teoría moderna a Frechet; La teoría de la diferencial para aplicaciones entre espacios normados, iniciada con la memoria de Frechet que acabamos de mencionar, es hoy día una teoría clásica que se enseña sistemáticamente en muchas universidades y son numerosos los textos en los que esta expuesta. Uno de los primeros autores que incluyo esta teoría en Un texto relativamente elemental fue Dieudonne en su libro Fundamentos del Análisis Moderno, aparecido en 1960.
Las distintas teorías de la diferenciaci6n ·permiten obtener basta~ tes propiedades de· la teoría para los normados aun cuando algunas de ellas tienen una forma algo diferente.
Por otra parte si bien algunas propiedades se generalizan, hay otras que no se pueden extender, 10 que marca diferencias importantes entre la teoría.

APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN DIFERENTES AREAS DEL CONOCIMIENTO. 

La diferencial de una función es muy importante, ademas de muy usando, ya que nos permite conocer el comportamiento de una parte muy pequeña y de ahí lograr obtener el comportamiento de un todo.

Es muy usando en los procesos de estructuras, se estudian los esfuerzos y diferentes procesos de cargas en una diferenciación de la función y luego comprende como funciona toda la estructura.

En el estudio de elementos finitos es un proceso necesario y obligatorio, se utiliza para comprender y verificar los puntos donde el esfuerzo es mayor, donde existe torsión, o momento flector, este conocimiento es usando en la ingeniería, en la medicina, en la instrumentación, bioingeniería y un sin fin de áreas.